Sommaire
Avant-propos
Conclusion synthétique
Note finale
Bibliographie
Introduction
On a
dit souvent dans la littérature arabo-persane qu’il y
avait deux œuvres dont se
glorifiait principalement la nation indienne :
- le Chaturanga, ancêtre du jeu d’échecs, inventé un jour par un brahmane du nom de Sessa, dont la célèbre légende va nous permettre d’amorcer cette importante étude.
La partie de Chaturanga se
jouait à quatre sur un échiquier carré de 8 cases
sur 8, avec 8 pièces, que
l’on avance selon les points obtenus en lançant les
dés.
Quand le jeu fut présenté au
roi des Indes, celui-ci fut tellement émerveillé de son
ingéniosité et de la
variété considérable de ses combinaisons possibles
qu’il fit venir le brahmane
pour lui offrir un présent de son choix en guise de
récompense. Ce dernier,
d’un ton très modeste, demanda alors :
- « Bon Souverain, je
voudrais que tu me fasse donner autant de grains de blé
qu’il en faudrait pour
remplir les 64 cases de mon échiquier : 1 grain pour la
première case, 2
pour la deuxième, et ainsi de suite en mettant dans chaque case
deux fois plus
de grains de blé que dans la
précédente ».
Le roi, blessé dans sa
fierté par une demande aussi
modeste, s’indigna quelque peu mais assura au brahmane
qu’il aurait son sac de
blé avant la nuit.
Le soir, le roi s’enquit
auprès de son ministre pour savoir si ce « fou de
Sessa » avait bien
pris possession de sa maigre récompense. Hésitant,
celui-ci lui iwudsrépondit
que les mathématiciens attachés à sa cour
n’était pas encore parvenu au terme
de leurs opérations. Le roi voulut que le problème soit
résolu à son réveil,
mais l’ordre demeura sans effet le lendemain ;
courroucé, il congédia les
calculateurs.
- « O Souverain »,
dit alors l’un de ses conseillers, « tu as bien
eu raison de renvoyer
ces opérateurs incompétents. Ils utilisaient de trop
vieilles méthodes !
Ils en étaient encore à déployer les
possibilités numériques de leurs doigts et
à utiliser les colonnes successives d’un abaque. Je me
suis laissé dire que les
calculateurs de la province centrale du royaume emploient depuis
quelques
générations déjà une méthode bien
supérieure et bien plus rapide que la leur.
C’est, paraît-il, la plus expéditive et la plus
facile à retenir. Et des
opérations qui demanderaient à tes mathématiciens
plusieurs journées de travail
difficile ne représenteraient pour ceux dont je te parle
qu’un très court laps
de temps.
Sur ces conseils, on fit
donc venir l’un de ces ingénieux arithméticiens
qui, après avoir résolu le
problème en un temps record, se présenta au roi pour lui
annoncer qu’il n’était
guère en son pouvoir de fournir la quantité de blé
qui lui avait été
demandée :
-« Celle-ci est bien au
delà de la connaissance et de l’usage que nous avons des
nombres. En fait, pour
une telle quantité, il te faudrait emmagasiner le blé
dans un grenier de 5
mètres de largeur, 10 mètres de longueur et de …
300 millions de kilomètres de
profondeur ! Soit un volume de 12 billions et 3 milliards de
mètres cubes.
Le calculateur révéla alors
au souverain les caractéristiques de la numération
révolutionnaire des savants
de sa région natale :
- « La manière de
représenter les nombres dont on use traditionnellement dans ton
royaume est
bien trop compliquée, car elle s’encombre de toute une
panoplie de signes
particuliers représentant les unités, supérieures
ou égales à la dizaine ;
elle est de plus très limitée, car le plus grand de ces
chiffres ne dépasse pas
la centaine de mille ; et elle est totalement inopérante,
aucune opération
arithmétique n’étant possible par ce moyen. Le
système que nous utilisons dans
notre province est, en revanche, d’une grande simplicité
et d’une efficacité
sans égale : au moyen de neuf
« signes » 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (qui
représentent les neuf unités simples mais qui ont une
valeur différente selon
la position qu’ils occupent dans l’écriture des
nombres), et d’un dixième noté
0 (qui ne signifie « rien » et sert à
marquer les unités
absentes), il permet de représenter sans difficulté
n’importe quel nombre,
aussi grand soit-il. Et c’est justement cette simplicité
qui fait sa
supériorité autant que l’élégance et
la facilité qu’il procure à la pratique de
toutes les opérations de
l’arithmétique ».
Sur ces paroles, il enseigna
au roi les principales méthodes du calcul en question par des
opérations et
conclut :
« Décidément », répondit le roi fort impressionné, le jeu que ce brahmane a inventé est aussi ingénieux que sa demande est subtile.
Telle est la légende de
Sessa, qui attribue ainsi à la civilisation indienne
l’honneur de cette
réalisation fondamentale que l’on appelle la numération
moderne.
D’ailleurs, malgré le caractère mythique du conte,
ce fait est parfaitement
authentique.
Mais il nous faut d’abord
mesurer l’importance de ce système de numération
écrite dont l’usage est devenu
aujourd’hui si fréquent, si familier, que nous avons fini
par en oublier la
profondeur et les véritables mérites.
Tel est le but que s’assigne ce TPE.
Les « chiffres
arabes » sont apparus en
Inde !
Pourquoi peut-on dire que les signes graphiques employés par la civilisation indienne pour désigner les unités ont constitué le fondement essentiel des « chiffres occidentaux » actuels ?
Introduction
Notre système de comptage
moderne, utilisé aujourd’hui dans le monde entier, est
basé sur les chiffres
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 qui sont connus sous le nom de
« chiffres
arabes ». Pratiquement tous les dictionnaires qualifient ces
signes comme
étant originaires de la civilisation musulmane. Pour exemple, le
dictionnaire
Webster, de taille moyenne, donne cette signification à la
rubrique
« chiffres arabes » : l’un
des symboles numériques 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Mais ces chiffres proviennent-ils réellement du Moyen-Orient ? Ont-ils été inventés par des scientifiques arabes ? Voilà quelques-unes des questions qui nécessitent des sources fiables et des archives importantes pour pouvoir être posées dans une perspective convenable, vraie et correcte.
L’opinion
du
Professeur Maulana Sayyad Suleman Nadvi de l’Académie
Shibli d’Azamgarh (Uttar
Pradesh, région indienne) mérite à ce titre notre
attention. Il écrit : Les arabes disent
clairement qu’ils ont
appris les chiffres de 1 à 9 des Hindous (civilisation
indienne) ; c’est
pourquoi ces derniers appellent ces chiffres les « chiffres
Hindsa »
et leur système de chiffres le Hisab Hindi (à cette
époque, la langue Sindhi
était connu comme Hindi et les Sindhis comme Hindis). Les
Européens ont appris
ensuite des arabes ce système de numération et ont ainsi
fait naître le terme
de « chiffres arabes ».
Aussi allons-nous partir de la remarque précédente dans cette partie pour apporter les preuves de l’origine indienne de nos chiffres occidentaux.
Hypothèses incorrectes sur l'origine des «chiffres arabes»
Dans le domaine de l’idée
préconçue, une tradition
encore vivace (et même prépondérante) de nos jours
attribue aux Arabes
l’invention de notre système actuel de numération.
Mais les chiffres
dits « arabes » n’ont sûrement
pas eu les Arabes pour
inventeurs. Les historiens ont en effet acquis depuis plusieurs
générations
déjà la certitude, preuves à l’appui, que
cette dénomination comportait en
réalité une grave erreur historique. D’ailleurs, il
convient à cet effet de
noter que, curieusement, aucune trace de cette tradition n’a
été décelée dans les
écrits des Arabes eux-mêmes.
Et de fait, de nombreux traités arabes
relatifs aux mathématiques et à
l’arithmétique révèlent que les auteurs
arabo-musulmans ont toujours su reconnaître, sans le moindre
complexe, qu’il
s’agissait d’une découverte réalisée
par des savants étrangers à leur propre
culture.
Mais pour impropre qu’est l’hypothèse
d’une
origine arabe de nos chiffres, elle n’est cependant pas
incompréhensible. Une
erreur historique comme celle-ci, parce qu’elle s’est
répandue sur une aire
géographique étendue (en Europe) et est restée
accrochée dans les esprits
pendant des siècles, jusqu’à nos jours, trouve
obligatoirement sa véritable
raison d’être quelque part.
En fait, cette théorie des « chiffres
arabes » n’a été véhiculée
que dans les pays européens, sans doute depuis
l’époque du bas Moyen-Age, notamment par des auteurs
d’ouvrages d’arithmétique
ou de mathématique, qui, pour se distinguer du courant de leur
époque, avaient
voulu combler ce qui leur avait semblé constituer un vide, en
formulant des
hypothèses arbitraires reposant sur des idées
préconçues, et en livrant ainsi
la vérité historique aux hasards de leurs inspirations
individuelles. Quant à
la cause même de l’erreur, nous la comprenons
d’autant mieux que nous savons
aujourd’hui que les chiffres en question sont parvenus en
Occident à la fin du
Xè siècle par l’intermédiaire des Arabes. Et
c’est parce que les Arabes avaient
atteint un niveau culturel et scientifique comparativement
supérieur à celui
des peuples occidentaux que ces chiffres avaient fini par se trouver
dotés de
la dénomination d’ « arabes ».
Dans cet extrait de L’Institution
mathématique publié en 1636,
Laurembergus affirme
ainsi :
« Ces caractères
ordinaires, barbares, ont survécu, et aujourd’hui la
terre presque entière en fait usage. En tout, il y en a
neuf :
1,2,3,4,5,6,7,8,9, auxquels s’ajoute le chiffre 0, autrement dit
le chiffre
figurant « rien », « aucune
chose », le zéro arabe.
D’aucuns pensent que ce sont les Arabes qui sont les premiers
inventeurs de ces
signes (alors que d’autres préfèrent les
Phéniciens, ou encore les
Chaldéens) ; opinion qui n’est certainement pas
étrangère à la vérité.
Car, de même que les Arabes ont un jour été
maîtres de presque toute la terre,
il est vraisemblable qu’ils ont été
également les propagateurs des sciences.
Ce témoignage montre bien comment, suivant
les mêmes inspirations, selon des idées
préconçues et à l’appui d’une
argumentation très légère, l’imagination des
auteurs européens de l’époque a
fait appel pour attribuer tantôt aux Arabes, tantôt aux
Phéniciens ou aux
Chaldéens la découverte de nos chiffres modernes,
civilisations dont on a
abondamment prouvé qu’elles y ont été
étrangères.
D’autre part, au début du siècle, des
historiens des sciences (G.R Kaye, N.Bubnov et B.Carra de Vaux
notamment, qui
s’étaient fait les adversaires les plus acharnés de
la thèse de l’origine
indienne de notre système actuel) alléguèrent que
nous étions redevables de
cette numération aux mathématiciens de la Grèce
antique.
Selon eux, en effet, le système aurait pris
naissance dans les milieux néo-pythagoriciens un peu avant le
début de l’ère
chrétienne. Du port d’Alexandrie, il serait passé
à Rome à l’époque impériale,
et un peu plus tard en Inde par voie commerciale. De Rome, il aurait
été
transmis ensuite à l’Espagne et aux provinces
d’Afrique du Nord, ou il aurait
été trouvé quelques siècles plus tard par
les conquérants arabo-musulmans,
cependant que les cousins proche-orientaux de ces derniers le
recevaient des
commerçants indiens. Et c’est de là que ce seraient
constitués, d’un côté les
formes graphiques des chiffres européens et maghrébins,
et de l’autre celles
d’apparence plus différente des chiffres indiens et arabes
orientaux.
Naturellement, le fonds de cette hypothèse
s’est trouvé infirmé par le fait qu’aucune
trace n’a été décelée à ce
jour de
l’emploi chez les Grecs de l’Antiquité d’un
système de même type que le nôtre.
Mais sans pour autant se trouver démunis par la solidité
des contre-arguments
apportés par la réalité des choses, ces auteurs
s’étaient accrochés à leurs
pures vues de l’esprit et s’y étaient
enfermés au point de déployer toute leur
imagination pour fournir à leurs préjugés tout ce
qui pouvait constituer un
semblant de preuve ou de confirmation.
Ainsi, en 1962, M.Destombes soutient que les
chiffres européens dérivent des lettres suivantes de
l’alphabet
gréco-byzantin : I,q,H,Z,…,G,B par suite du retournement de la série des
lettres B,G,…,Z,H,q,I, écrites en capitales et adaptées
graphiquement aux « formes
des lettres wisigothiques du troisième quart du Xè
siècle (de notre
ère) ».
Mais, du reste, comme le faisait remarquer
si justement J-F.Montucla, « si ces caractères
viennent des lettres
grecques, ils ont étrangement changé sur la route. En
effet, ce n’est qu’en
tronquant ces lettres et en les retournant d’une manière
bien étrange, qu’on
vient à bout de les faire ressembler à nos chiffres.
D’ailleurs, il s’agit ici
bien moins de leur forme que de ce système [positionnel]
ingénieux, qui au
moyen de dix caractères seulement, exprime tout nombre possible.
Les Grecs
avaient trop de génie pour ne pas sentir le mérite de
cette invention ; et
ils l’auraient promptement adoptée si elle eût pris
naissance chez eux, ou même
s’ils en eussent eu seulement connaissance ».
Enfin, il convient de rappeler, pour les
éliminer une fois pour toutes, les principales légendes
et théories, très
contestables, qui circulent encore au sujet de l’origine des
chiffres
dits « arabes » : ces explications
fantaisistes sont décrites dans la
partie documents annexes : explications
fantaisistes au sujet de l’origine des « chiffres
arabes » de ce TPE.
Ces théories sont d’autant plus douteuses
que, à en croire leurs tenants, les formes de nos chiffres
actuels seraient
issus à chaque fois de l’imagination d’un individu
isolé. Un individu qui
aurait forgé ces signes de toutes pièces de
manière que la forme de chaque
signe concerné recelât
l’idée du nombre
représenté suivant un procédé recourant
tantôt à une notation graphique fondée
sur autant d’angles, de traits ou de points que le nombre
figuré comporte
d’unités, tantôt à des représentations
géométriques comme le triangle, le
rectangle, le carré ou le cercle, dont on aurait déduit
les signes en question
selon une règle simple d’ordre géométrique.
Ces théories ont donc toutes en
commun la prétention de fournir
une « explication » donnant nos
chiffres actuels comme le fruit d’une sorte de
génération spontanée leur
attribuant dès le départ une forme parfaitement
rationalisée.
De telles conjectures sont en vérité bien
stériles, car aucune d’elles ne peut fournir
d’explication à la variété tout à
fait considérable des formes graphiques que les neuf chiffres
ont prises au
cours des siècles et en différentes régions du
monde, comme nous le verrons
plus tard. Ne considérant ainsi que la forme ultime des chiffres
modernes
(utilisées pour l’imprimerie), celles-ci ne prennent en
effet en considération
que l’aboutissement d’une très longue histoire et
négligent ainsi tous les
détours d’une lente évolution étalée
sur plusieurs millénaires.
Il s’agit là donc d’explications a
posteriori, apportées par des imaginations pseudo-scientifiques,
prises au
pièges des apparences et des déductions faciles.
De
la légende à la réalité : les chiffres
modernes, une invention
proprement indienne
En fait, c’est à une toute autre lignée
de
savants et de calculateurs, les mathématiciens et astronomes de
la civilisation
indienne, que nous devons la découverte fondamentale de ces
chiffres, due à la
mise au point par ces mêmes scientifiques d’un
système de position - événement
non moins important que la maîtrise du feu, le
développement de l’agriculture,
ou que l’invention de la roue, de l’écriture ou de
la machine à vapeur - :
des savants qui avaient eu l’esprit résolument
tourné vers les applications
et qui avaient été animés par une sorte de passion
à la fois pour les grands
nombres et le calcul numérique.
De nombreux faits le prouvent et
d’innombrables témoignages venus de tous les horizons le
confirment.
Parmi les témoignages en faveur de l’origine
indienne de la numération moderne, on trouve notamment,
dès 976, celui d’un
moine du nom de Vigila, établi dans le nord de l’Espagne,
qui, dans son
ouvrage, le Codex Vigilanus,
écrit :
« Et de même à propos des chiffres de
l’arithmétique. Il faut savoir que les Indiens ont une
intelligence extrêmement
subtile, et que les autres notions leur cèdent le pas en ce qui
concerne
l’arithmétique, la géométrie et les autres
disciplines libérales. C’est ce qui
se manifeste le mieux dans les neuf chiffres par lesquels ils
désignent chaque
degré de n’importe quel niveau. Voici la forme de ces
chiffres :
1,2,3,4,5,6,7,8,9
De même, pendant plus de mille ans, les
auteurs arabo-musulmans n’ont jamais cessé de proclamer,
dans un remarquable
esprit d’ouverture qui leur fait honneur, que la
découverte de chiffres dénués
de toute intuition visuelle, intégrés dans une
numération décimale de position,
était due aux indiens.
Ainsi, dès 810, Abu Ja’far Muhammad ibn Musa
Al Khuwarizmi, scientifique arabe célèbre pour ses
travaux de vulgarisation
(voir partie 3), indique, dans son ouvrage
intitulé « Traité de
l’addition et de la soustraction d’après le calcul
des Indiens » :
« …nous
avons décidé d’exposer la manière de
calculer des Indiens
à l’aide des neuf caractères et de montrer comment,
grâce à leur simplicité et
leur concision, ces caractères peuvent exprimer tous les
nombres ».
Al Khuwarizmi explique ensuite, en détail,
le principe de la numération décimale de position, en
signalant l’origine
indienne des neuf chiffres et de « la dixième figure
en forme de
cercle » (le zéro), dont il recommande de
« ne pas négliger l’usage
afin de ne pas confondre les positions ».
Les témoignages précédents sont donc
tous
unanimes pour proclamer que notre numération écrite
actuelle a bien été le
produit des élans créateurs de la civilisation indienne.
En toute rigueur se
pose toutefois le problème de la valeur probante de ces divers
témoignages : le fait décrit dans ceux-ci est
souvent certifié par une
déclaration antérieure faite par un témoin
oculaire. Cependant, une importance
non négligeable doit être accordée à ces
différents témoignages, car
« l’événement hindou » a
été évoqué plusieurs fois pendant plus de
mille ans. En effet, ces deux auteurs ne furent pas les seuls à
décrire
l’origine indienne de nos chiffres occidentaux (voir documents annexes : témoignages).
Mais, pour solide qu’ils soient, ces
témoignages ne peuvent jamais constituer pour la
« vérité
historique » que l’on sait que de simples
confirmations. Il convient donc
de s’atteler à une étude graphique plus approfondie
de ces chiffres et de leur
évolution dans le temps, afin d’établir un lien
direct entre les chiffres que
nous utilisons actuellement en Europe et les premiers chiffres
d’intuition non
visuelle apparu en Inde il y a plus d’un millénaire.
Pour cela, nous allons démontrer que la
civilisation indienne est parvenue en toute autonomie à des
chiffres de base
dénués de toute intuition visuelle, tout en
établissant que les graphismes
attachés aux chiffres indiens dès la haute époque
préfiguraient non seulement
toutes les variétés actuellement en usage en Inde, en Asie Centrale et en Asie du Sud-Est, mais
aussi les formes
respectives des chiffres des Arabes orientaux et des arabes
occidentaux, ainsi
que la graphie de nos chiffres actuels et de leurs divers
prédécesseurs
européens du même genre.
Le
but de cette partie
étant d’établir l’indianité de
l’origine de nos chiffres actuels, nous allons
ci-après passer en revue les notations numériques
usitées en Inde avant et
depuis cet événement colossal, en terminant par les
chiffres actuellement en
usage dans cette partie du monde. (voir
carte de
l’inde)
La
plus ancienne écriture
connue du sous-continent indien est celle qui apparaît sur des
sceaux et sur
des plaquettes de la civilisation de l’Indus (vers
–2500/-1500), mise au jour
notamment dans les ruines des antiques cités de Mohenjo-Daro et
Harappâ.
Mais
cette écriture
n’étant pas encore déchiffrée, la langue
correspondante demeure inconnue ;
on ne sait donc pas combler le large fossé qui sépare ces
inscriptions des
premiers textes connus en écriture et en langue proprement
indiennes, si tant
est qu’une filiation ait existé entre les deux
systèmes.
En
fait, l’histoire des
écritures proprement indiennes ne commence qu’avec les
inscriptions d’Ashoka,
troisième empereur de la dynastie des Maurya du Magadha, qui
avait régné sur
l’Inde depuis –273 environ jusqu’à –235,
et dont l’empire s’était étendu de
l’Afghanistan au Bengale et du Nepâl au sud du Dekkan. Ces
inscriptions sont
principalement des édits gravés sur des rochers ou des
colonnes, pour
lesquelles diverses écritures avaient été
utilisées : grec et araméen à Kandahar et
Jalâlâbad en Afghanistan ;
système kharoshthî à
Mansherâ et Shâhbâzgarhî dans le nord de
l’Indus (actuel Pakistan) ; et écriture brâhmî pour toutes les
autres régions de l’Empire.
La kharoshthî dérive
directement de l’ancien alphabet araméen, et
s’écrit comme lui
de droite à gauche. C’est pourquoi on lui donne aussi le
nom
d’écriture « araméo-indienne ».
Probablement introduite au IVè
siècle avant notre ère, elle restera en usage dans
le nord-ouest de
l’Inde jusqu’à la fin du IVè
siècle après J-C.
Quant
à l’écriture brâhmî, elle s’écrivait de gauche à droite et
servait à noter les sons du
sanskrit, langue répandue à travers toutes les
contrées indiennes et considérée
comme la « langue des dieux » (samskrita
signifie « complet,
parfait, définitif »).
L’origine
de cette écriture
n’a pas encore été élucidée. On
a voulu la faire dériver de l’écriture kharoshthî, mais l’explication
fournie n’a guère été convaincante. On sait
toutefois que la brahmî
dérive des anciennes écriture alphabétiques
du monde sémitique occidental, sans doute par
l’intermédiaire d’une autre
variété araméenne dont on n’a pas
retrouvé les spécimens.
Toujours est-il que dès la seconde moitié du
premier millénaire avant notre ère, l’Inde est
déjà largement ouverte aux
influences étrangères, des contacts étant
établis depuis longtemps avec les
Perses et les commerçants d’origine araméenne qui
empruntaient les routes
allant de la Syrie et de la Mésopotamie jusqu’à la
vallée de l’Indus.
L’apparition
de la brâhmî
et de sa notation numérique est cependant vraisemblablement
antérieure à
l’époque d’Ashoka, où elle était
déjà parfaitement élaborée et
répandue à
travers les différentes contrées du sous-continent indien.
Dans tous les cas, c’est bien cette écriture qui
survivra à
toutes les autres, devenant dès lors l’unique source de
toutes les écritures
qui se développeront par la suite en Inde et dans les pays
avoisinants. Au
point qu’on lui attribuera le nom même de brâhmî, donné par
l’hindouisme à l’une des sept mâtrikâ ou « mères du monde » :
l’une de ces énergies féminines censées
représenter les divinités hindoues, qui
correspondait à la puissance de Brahma,
l ‘ « Incommensurable », le dieu
du Ciel et des horizons,
qui aurait un jour inventé l’écriture brâhmî pour le bienfait et
la diversité des hommes.
Après
les édits d’Ashoka,
la notation numérique brâhmî apparaîtra, sous une forme légèrement
modifiée, dans les inscriptions contemporaines de la dynastie
des Shunga (qui
règnera de –185 environ à –75 sur le Magadha,
dans le Bihâr actuel, au sud du
cours du Gange), puis dans celles de la dynastie des Kanva (qui
succédera à la
précédente de –730 environ –30)
On
la verra ensuite, sous
une forme encore plus évoluée :
- dans les
inscriptions de l’époque de la dynastie des Shaka (Scythes
qui régneront, du IIè
siècle av. J-C au Ier siècle ap. J-C, sur la
vallée de Kabûl en
Afghanistan, à Taxilâ dans le Panjâb et à
Mathurâ)
- sur les monnaies frappées par les souverains de la dynastie d’origine Shaka qui régneront du IIè au IVè siècle de notre ère sur le Mahârâshtra (en prenant le nom de « Satrapes »)
Elle
évoluera encore un peu plus dans les
écrits de la dynastie des Ândhra ou Shâtakarni (qui
régneront durant les deux
premiers siècles de notre ère sur le nord-Ouest du
Dekkan).
Le
système apparaîtra ensuite, sous une
forme encore plus évoluée, dans les inscriptions du temps
des souverains
Kushâna (dont le règne s’étalera du Ier au IIIè
siècle ap. J-C et
qui, fixés d’abord dans le Gandhâra et en
Transoxiane, se lanceront dans la
conquête de l’Inde du Nord-Ouest).
Et
c’est ainsi qu’au terme de plusieurs
modifications successives plus ou moins sensibles, la brâhmî aboutira finalement au
développement de divers types d’écritures
(numériques) très nettement individualisée, dont
notamment l’écriture de style nâgarî
(ou écriture
« citadine », dont la magnifique
régularité
ultérieure lui fit prendre le nom de devanâgarî ou « nâgarî des dieux »)
qui
acquit par la suite une extrême importance, en devenant non
l’écriture
principale du sanskrit, mais aussi celle du hindi, la grande langue de
l’Inde
centrale actuelle.
Des types à partir desquels se constitueront les principaux groupes de chiffres suivants actuellement en usage dans le monde indien (organigramme 24.28) :
1.
Le groupe des notations numériques de
l’Inde centrale et septentrionale et de l’Asie Centrale,
issues de la gupta :
a. les notations
dérivées de l’écriture nâgari :
- chiffres mahârâshtrî et ses dérivés : chiffres marâthî….
- chiffres kutilâ
et ses dérivés : chiffres bengâlî,
oriyâ, gujarâti….
b. les notations dérivées de
l’écriture shâradâ :
- chiffres sindhî,
panjâbî….
c. les notations du Nepâl :
- chiffres siddham et ses
dérivés : chiffres nepâlî modernes….
d. les notations du type tibétain :
- chiffres tibétains
(dérivés des
chiffres siddham) et ses
dérivés :
chiffres mongols…
e. les notations du Turkestan chinois
(dérivées
des chiffres siddham) :
- chiffres agnéens,
khotanais….
2.
Le groupe des
notations de l’Inde méridionale, issues de la bhattiprolu, lointaine
cousine de la gupta :
a.
chiffres kannara
b.
chiffres tamil
c.
chiffres malayâlam
d.
chiffres sinhala
(singhalais)
3.
Le groupe des
notations dites « orientales », issues de la
notation dite
« pâlî », dérivant elle-même d’une même source
que le bhattiprolu :
a.
chiffres vieux
khmer
b.
chiffres cham
c. chiffres vieux malais
d. chiffres kawi :
vieux
javanais et vieux balinais
e. chiffres thai-khmer modernes
f. chiffres birmans
(voir carte 24.53)
cf. documents annexes
Les différences apparemment considérables
que les écritures de ces divers groupes présenteront
ultérieurement tiendront
en fait, soit au caractère spécifique des langues et
traditions auxquelles
elles auront été adaptées, soit encore aux
habitudes scribales régionales et à
la nature des matériels scripturaires employés.
En
effet, en Inde et dans
les régions environnantes, la notation des neuf unités a
suivi au fil des
siècles une évolution tout à fait semblable
à celle des écritures issues de la brâhmî. Autrement dit, comme nous l’avons
énoncé auparavant, les diverses
séries de chiffres de 1 à 9 autrefois ou actuellement en
usage en Inde, en Asie
centrale et en Asie du Sud-Est, à l’instar des
écritures auxquelles elles se
rattachent, dérivent toutes plus ou moins directement de
l’ancienne notation brâhmî des nombres correspondants.
C’est
ainsi que, étant
donné le nombre de langues qui ont découlé de la brâhmî, on
emploie encore en Inde, pour les mêmes
valeurs, des chiffre d’une graphie sensiblement différente
selon les régions,
dont la forme cursive varie considérablement d’une
contrée à l’autre selon le
type de l’écriture locale.
Mais
naturellement, cette
diversité ne date pas d’aujourd’hui.
C’est
d’ailleurs ce dont
avait témoigné vers 1030 l’astronome musulman
d’origine persane Al Biruni dans
son Kitab fi tahqiq i ma li’l hind, ouvrage constituant un exposé sur l’Inde,
qui va ici nous intéresser dans la poursuite de notre
réflexion sur l’origine
indienne des chiffres modernes occidentaux. Par suite d’un
séjour de près de
trente ans en Inde et dans le Sind, il avait décrit la grande
diversité des
formes graphiques des chiffres usités à
l’époque dans les différentes contrées
indiennes :
« Les Indiens n’ont pas l’usage
d’assigner à leurs lettres un emploi quelconque dans le
calcul, comme mous en
assignons un à nos lettres en les classant suivant l’ordre
de leurs valeurs
numériques.
« Et
de même que les
figures des lettres [de leur écriture] sont différentes
dans [les diverses
régions de] leur pays, de même aussi les signes du calcul
[varient].
[…]
« Ce que nous [ les Arabes] employons
[en fait de chiffres] est choisi parmi ce qu’il y a de mieux [et
de plus
régulier] chez les Indiens.
« Mais peu importent les formes, pourvu
que l’on connaisse les significations qu’elles
renferment »
Or parmi les chiffres que l’on employait
jadis et que l’on emploie encore aujourd’hui le plus
couramment dans les
différentes contrées de l’Inde, les plus
réguliers sont justement ceux du genre
nâgarî (dont on a
parlé précédemment), que l’on appelle aussi
chiffres devenâgarî,
du nom de la superbe écriture à laquelle ils sont
intégrés (le mot
sanskrit signifie littéralement « écriture des
dieux »).
C’est du reste à ces chiffres-là que
faisait
allusion Al Biruni (qui maîtrisait parfaitement la langue et
l’écriture du
sanskrit), en disant que les Arabes, en empruntant aux Indiens leur
numération
décimale de position, leur avaient pris, en fait de notation
pour les neuf
unités, « ce qu’il y avait de mieux et de plus
régulier chez eux ».
Ainsi vient la confirmation que les chiffres que nous utilisons de nos
jours
nous est bien parvenue d’Inde par l’intermédiaire
des Arabes.
Mais, pour donner définitivement une portée
crédible à cet état de fait,
il convient d’apporter une interprétation concrète
de ce qui a été établi par
les scientifiques et précisé un peu plus haut dans cette
partie, c’est-à-dire
l’origine brâhmî des chiffres nâgarî. Un analyse de l’évolution graphique des
notations numériques qui a permis le passage d’une
écriture à l’autre va nous y
aider.
Les chiffres de la notation brâhmî originelle
Revenons-en alors à la notation brâhmî originelle elle-même.
Nous avons vu que cette notation apparaît
pour la première fois au milieu du IIIè siècle
avant notre ère dans les édits
en langue ardha-mâgadhî et en écriture brâhmî, que l’empereur
Ashoka avait fait graver sur des rochers, sur des colonnes en
grès poli et sur
des temples creusés dans le roc, en diverses contrées de
son empire.
Mais
la notation
numérique contenue dans ces édits est malheureusement
très fragmentaire, ne
livrant pour la série des neuf unités que les
représentations des nombres 1,2,4
et 6. (figure 24.27)
On peut déjà reconnaître sur le document
notre 6 actuel.
Les
chiffres des notations intermédiaires
Le
même système
apparaissant d’une manière plus significative dans les
documents des époques
suivantes, ce qui suit va donc nous permettre de nous en faire une
idée
beaucoup plus précise.
On voit en effet les chiffres correspondants
apparaître dès le début de l’époque de
la dynastie des Shunga du Magadha (-IIè
siècle) dans des inscriptions bouddhiques qui ornent les parois
des grottes de
Nânâ Ghât :(figure
24.30)
On peut ici rapprocher les chiffres 1,2,4 et
6 de cette écriture avec ceux de la notation nâgarî. Ainsi, on retrouve
dans ces deux séries de chiffres le trait unique pour
désigner le 1, les deux
traits pour représenter le 2. On reconnaît
aussi dans les deux notations le motif de croix désignant
le chiffre 4, et
la forme cursive caractéristique du chiffre 6.
On y aperçoit déjà, par
ailleurs, la préfiguration de nos chiffres 4,6,7 et 9.
La
même série réapparaît un peu
plus tard,
mais sous une forme bien plus complète, au Ier ou IIè
siècle de notre ère, dans
les inscriptions des grottes bouddhiques de Nâsik :(figure 24.31)
Comme précédemment, les liens graphiques
avec la notation nâgarî sont ici aussi évidents à constater.
On y reconnaît d’autre part les prototypes de nos chiffres 4,5,6,7,8 et 9.
Remarquons
que l’on
retrouve ce système sous une forme de plus en plus
diversifiée, notamment dans
les inscriptions de Mathurâ, ainsi que dans les inscriptions des
dynasties
Kushâna et Ândhra, les monnaies des Satrapes occidentaux,
les inscriptions de
la dynastie des Pallava.
S’agissant des séries numérales de 1
à 9 qui
dérivent ainsi de la notation brâhmî et constituent par conséquent
l’intermédiaire avec les séries
dérivées ultérieures comprenant le style nâgarî, ces signes sont
appelés les « chiffres des notations
intermédiaires ».
En se répandant dans les diverses contrées
de l’Inde et des régions avoisinantes, ces notations
intermédiaires, comme les
lettres des écritures correspondantes, ont subit au cours des
siècles des
modifications graphiques plus ou moins sensibles, pour acquérir
en fin de
compte des formes cursives extrêmement variées,
appropriées chacune à un style
régional.
L’origine
de la notation nâgarî :
l’écriture gupta
L’une
des premières
notations individualisées fut la gupta, utilisée à l’époque de la
dynastie du même
nom (dont les souverains régnèrent sur toute la
vallée du Gange et ses
affluents depuis environ +240 jusqu’à +535) :(figure
24.38)
Il est aisé de voir, graphiquement, que
cette notation présente de nombreuses similitudes avec le style
des notations
intermédiaires ; il n’y a alors aucun doute quant
à son origine lointaine brâhmî.
Et c’est bien cette notation qui a été la
source de l’écriture nâgarî.
Le
développement de la notation nâgarî
En
s’affinant, l’écriture
gupta a en effet donné
naissance dès le VIIè siècle de notre ère
à
l’écriture du style nâgarî.
Et
comme la notation
numérique a suivi une évolution parallèle, les
chiffres du genre gupta ont
engendré également les chiffres du type nâgarî, dont
l’évolution formelle a conduit par la suite aux chiffres
modernes
du même nom :
(figure 24.39)
Ce sont bien ces formes que les Arabes ont
emprunté lorsqu’ils ont adopté la numération
indienne. On y reconnaît
d’ailleurs sans difficulté des formes sinon identiques, du
moins semblables à
nos chiffres actuels 1,2,3,4,6,7,9 et 0.
(Remarquons que cette notation comprend l’usage du zéro , contrairement aux précédentes : elle est donc déjà intégré à un système décimal de position).
Nous avons donc bien montré ici que la notation empruntée par les Arabes dérive assurément de l’écriture originelle indienne proprement indienne : la brâhmî.
Il
nous revient alors
maintenant d’élucider le délicat problème de
l’origine des neuf premiers
chiffres brâhmî eux –mêmes.
Cette
notation, comme
nous l’avons vu, a longtemps conservé pour les trois
premières unités une
représentation idéographique consistant à
reproduire autant de traits
horizontaux que la valeur du chiffre.
En
revanche, dès leur
apparition, les chiffres de 4 à 9 ont été des
signes indépendants, détachés de
toute intuition sensible, ne cherchant pas à évoquer
visuellement les nombres
représentés (même avant l’introduction du
zéro et donc de la numération de
position).
De
nombreuses hypothèses sur l’origine des
premiers chiffres brâhmî, selon lesquelles ces signes
pourraient dériver de la
numération utilisée par l’ancienne civilisation de
l’Indus, ou encore comme
quoi les chiffres brâhmî originels auraient pour précurseur la
numération « araméo-indienne ».
Mais, à chaque fois, ces théories
n’ont pas été plausibles, soit car elles
étaient sans fondements, soit parce
qu’une étude historique approfondie les démentait
(cf. documents annexes : hypothèses
incorrectes sur l’origine des chiffres brâhmî).
D’autres
hypothèses sur l’origine des neuf
premiers chiffres brâhmî ont été émises, notamment sur la
possibilité
d’un emprunt à l’alphabet brâhmî, ou même aux Egyptiens, mais elles n’ont
guère été convaincantes.
L’origine
des neuf premiers chiffres indiens
Une
autre hypothèse
paraît en revanche beaucoup plus plausible, et cela même en
l’absence de toute
documentation.
Cette
hypothèse repose
avant tout, en effet, sur le fait que des civilisations qui ont
été soumises
aux mêmes besoins selon les mêmes conditions initiales,
sociales,
psychologiques, intellectuelles et matérielles ont, le plus
souvent
indépendamment les unes des autres, emprunté les
mêmes voies pour parvenir à
des résultats sinon identiques, du moins similaires.
Or, c’est justement ce qui explique la
raison de l’existence de certains chiffres de même facture
et souvent de même
valeur numérique que les chiffres brâhmî, que l’on trouve attestés dans d’autre
civilisations et dont la date remonte généralement
à plusieurs siècles avant
l’époque de l’empereur Ashoka.(figure 24.57)
En consultant les figures 24.57 et 24.27 à
24.31, on reconnaîtra ainsi des signes non indiens tout à
fait semblables aux
diverses variantes des chiffres 1,2 et 3 de la civilisation indienne,
de même
que l’analogie évidente entre le 5 nabatéen ou
palmyrénien et l’ancien 5
indien, ainsi que la similitude que présentent les chiffres 7 et
9 hiératiques
ou démotiques égyptiens avec leurs correspondants indiens
respectifs.
En fait, ces analogies formelles
s’expliquent, non par la thèse peu vraisemblable
d’une éventuelle transmission
du système par l’une des civilisations concernées,
mais plutôt à des constantes
universelles dégagées par les règles fondamentales
de l’histoire de la
paléographie. Elles proviennent du fait que les civilisations en
question ont
écrit sur des supports semblables à ceux des anciens
Indiens et utilisé des
outils traceurs du même type, par exemple le calame (sorte de
roseau dont on
trempait la pointe écrasée dans une matière
colorante), qui leur servait à
écrire sur papyrus ou parchemin.
Or, on sait jusqu’à quel point la nature de
cet instrument a influé sur l’écriture manuscrite
de toutes ces peuples.
C’est ainsi que la superposition de deux ou
de trois traits horizontaux, réunis d’abord en un seul
signe par une ligature,
a donné naissance, chez les uns comme chez les autres, à
des graphismes de même
facture que le 2 et le 3 indiens, dont les variantes
paléographiques se sont
par la suite considérablement diversifiées selon les
époques, les régions et
les habitudes des scribes (figure 24.58),
pour
finalement aboutir aux prototypes des signes que nous utilisons de nos
jours.
Cette explication suppose bien sûr que les
traits consécutifs constituant l’ancienne notation
idéographique indienne des
trois premiers nombres étaient disposés horizontalement.
C’est en tout cas ce
que révèlent les inscriptions brâhmî
postérieures au IIIè siècle
avant
J-C, ainsi que celles du temps de la dynastie des Gupta
(+IIIè/+IVè
siècle) ; cette représention figurative à
l’aide de traits
« couchés », inspirés visuellement,
persistera même par endroits
jusqu’au VIIIè siècle après J-C. (figures 24.30,
24.31 et 24.38).
Et pourtant, si l’on examine les édits
« brâhmî » de l’empereur Ashoka
(260 environ av.J-C), on remarque
que, d’un bout à l’autre de l’empire des
Maurya, les nombres 1,2 et 3 étaient
représentés non par des traits horizontaux
superposés, mais par une, deux ou
trois barres verticales (figure 24.27).
Ce changement d’orientation a-t-il tenu à
des raisons d’ordre esthétique ? C’est aussi
peu probable que
l’explication qui donnerait pour raison la commodité de
cette nouvelle
notation. Car répéter un trait, une, deux ou même
trois fois, que ce soit
verticalement ou horizontalement, n’a rien
d’esthétique et relève pratiquement
du même geste, dont seule l’habitude peut établir la
différence.
En fait, ce phénomène a une autre explication probable. Les Indiens utilisaient depuis longtemps dans leurs textes sanskrits en vers et en prose un signe de ponctuation (appelé danda) en forme de petit trait vertical (½), pour marquer la fin d’un vers ou d’une partie de phrase, et qu’ils doublaient (½½) pour indiquer la fin d’une phrase, d’un couplet ou d’une strophe. Or, le danda ayant constitué une innovation du IIè ap. J-C, on comprend que les notations verticales des trois premières unités aient dû se coucher à partir de cette époque pour éviter toute confusion. Cependant, il ne s’agit là que d’une simple conjecture sans preuve ni confirmation.
Autre question : pourquoi les Indiens ont-ils longtemps conservé aux trois premières unités une telle notation idéographique, alors que, dès leur apparition sur les documents précédents, les chiffres de 4 à 9 sont déjà des signes graphiquement évolués, correspondant à des chiffres indépendants, détachés de toute intuition visuelle ?
En fait, cette ambiguïté s’explique simplement : alors qu’il était nécessaire de procéder à une transformation radicale des groupements de 4 à 9 traits pour éviter une écriture fastidieuse trait par trait, il n’était pas forcément utile, en effet, d’opérer une quelconque modification sur les assemblages des unités inférieures ou égales à 4 ; et cela, non seulement à cause du caractère rapide d’une notation à l’aide de traits jusqu’à trois unités, mais aussi et surtout parce que l’œil parvient toujours à distinguer aisément, sans compter, toutes les unités alignés jusqu’à la quatrième, rang au-delà duquel l’artifice du comptage devient indispensable. Notons que les Chinois et les Egyptiens de l’Antiquité se sont retrouvés dans une pareille situation.
Mais alors, quelle est l’idée qui a présidé à la formation des six autres chiffres brâhmî ? Les considérations précédentes sur l’universalité des règles de l’évolution de la paléographie dans toutes les cultures laissent penser que ces signes graphiques n’ont probablement pas été crées artificiellement pour les besoins de la cause, dans un but purement conventionnel, mais ont plutôt été le fruit d’une cheminement graphique partant de prototypes constitués de groupements primitifs d’autant de traits représentant l’unité. Et comme les barres représentant les nombres de 1 à 3 ont été verticales avant même d’être horizontales, on peut donc supposer à juste titre que les neuf premiers chiffres brâhmî ont constitué les vestiges d’une vieille notation numérique indigène, sans doute plus ancienne que la brâhmi elle-même, où les neuf unités étaient représentées par autant de traits verticaux que nécessaire (voir figure 24.59).
Pour répondre à un besoin de notation rapide et au souci de gagner du temps, ces groupements de traits évoluèrent graphiquement compte tenu des possibilités et des exigences des matériaux d’écriture mis à contribution en Inde au cours des siècles, et aussi des contraintes même de l’outil traceur (calame). Ces prototypes de chiffres se compliquèrent peu à peu par l’emploi de nombreuses ligatures (figure 24.60), pour subir finalement une profonde modification de tracé n’ayant plus rien à voir avec les formes initiales, aboutissant à des signes distincts détachés de toute intuition sensible : les chiffres brâhmî des trois premiers siècles avant notre ère.
Telle est l’explication la plus plausible que l’on
puisse
donner de l’origine des neuf premiers chiffres indiens.(voir figure 24.61 à 24.69)
Autant dire dans ces conditions que la notation numérique brâhmî a été autochtone et dépourvue de toute influence étrangère. Autrement dit, selon toute probabilité, les neuf chiffres indiens sont bien nés en Inde et constituent le produit de la civilisation indienne seule.
Les Arabes ont donc bien emprunté une numération
typiquement
indienne avant de la transmettre à la civilisation occidentale.
Aujourd’hui, nos chiffres modernes 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 sont répandus partout dans le monde et constituent ainsi une sorte de langage universel pouvant être compris aussi bien par un Indien, un Arabe, un Birman, un Cambodgien, un Coréen, un Chinois ou un Japonais que par un Australien, un Européen, un Américain ou un Africain.
Cette forme n’est cependant pas la seule dans laquelle s’exprime la numération décimale actuelle. Des graphies particulières représentant les mêmes nombres coexistent encore en effet à côté de cette série dans un certain nombre de pays orientaux. Depuis le Proche-Orient et le Moyen-Orient jusqu’à l’Inde musulmane, l’Indonésie et la Malaisie, on utilise ainsi de préférence la graphie caractéristique suivante, pour des raisons que nous allons expliquer ci-après :
(figure
24.2)
L’évolution graphique des chiffres indiens dans les pays islamiques d’Orient
Cette
divergence est en fait due à l’utilisation qu’on
fait les Arabes d’Orient de la
numération indienne, notamment par l’intermédiaire
de leurs scribes.
Lorsque cette numération est arrivée chez les Arabes, les neuf chiffres indiens furent, au début, purement et simplement recopiés. Au milieu du IXè siècle, les chiffres des Arabes orientaux ressemblaient encore à leur prototype indiens du style nâgarî de la même époque :
Mais une fois passés entre les mains des scribes arabo-musulmans, les chiffres indiens subirent des modifications graphiques relativement importantes, s’éloignant alors peu à peu de leurs prototypes initiaux.
Autrement dit, en venant s’insérer parmi les éléments de cette écriture et en se rapprochant des divers styles graphiques correspondants, la notation numérique d’origine indienne a subi des variations de tracé pour aboutir finalement à des séries apparemment originales.
Mais cette stylisation des chiffres indiens n’explique pas tout. Si l’on examine attentivement les manuscrits arabes des premiers siècles de l’Islam, on constate en effet qu’un changement d’orientation s’est opéré à l’époque sur la notation indienne.
Et c’est ainsi que dans les pays musulmans du Proche-Orient :
A quoi ce changement d’orientation était-il dû ? A des raisons pratiques, essentiellement matérielles.
Ainsi,
durant les premiers siècles de
l’ « Hégire », les scribes
arabes
d’Orient avaient en effet l’habitude de tracer les
caractères de leur cursive,
non de droite à gauche comme l’autorise
l’écriture arabe, mais de haut en bas,
les lignes se succédant de gauche à droite.
Et pour lire, ils n’avaient plus
qu’à retourner leurs manuscrits de 90°, dans le sens
des aiguilles d’une
montre, pour que les lignes fussent disposées normalement et que
la lecture se
fit bien de la droite vers la gauche.
Cette façon de procéder tirait en fait son origine de considérations liées essentiellement à l’écriture manuscrite sur feuilles de papyrus.
Quant au zéro, il fut d’abord représenté par un « petit cercle semblable à la lettre O », comme le disait Al Khuwarizmi qui faisait ainsi allusion à la lettre arabe ha, dont la forme est justement celle d’un petit rond.
Mais à la longue, ce rond est devenu tellement petit qu’il en a été réduit finalement à un simple point.
Et c’est sous cette graphie stylisée et un peu modifiée que les neuf chiffres d’origine indienne se sont répandus à travers les provinces orientales du monde musulman, après s’être fixés en une série qui ne devait plus connaître au cours des siècles que des modifications tout à fait insignifiantes, portant principalement sur la forme des chiffres 5 et 0 (figure 25.3).
Et c’est ce que les Arabes ont toujours appelé sous le nom de chiffres hindi (« chiffres indiens »).
Les chiffres
dits
« ghubar » des Arabes occidentaux
Mais les chiffres précédents ne sont pas tout à fait à l’origine de nos chiffes « arabes ». Nous tenons les chiffres actuels des Arabes, c’est vrai, mais des Arabes occidentaux (ceux qui peuplèrent l’Afrique du Nord et une partie de l’Espagne), et non pas des Arabes du Proche et Moyen-Orient.
Ces chiffres arabes occidentaux, dits « ghubar », ont une graphie d’apparence complètement différente des chiffres hindi des provinces orientales des pays de l’Islam (figure 25.5).
Les différences entre ces deux types de notation ne tiennent en réalité qu’aux habitudes des scribes et des copistes de chacune des régions concernées.
Mais c’est surtout l’histoire même des styles de l’écriture arabe qui va nous permettre de mieux saisir le phénomène.
Dès l’apparition de l’islam, cette écriture a évolué vers deux types bien distincts :
- un style cursif lapidaire, dérivant de celui des inscriptions pré-islamiques, d’où est sortie l’écriture dite « coufique », style d’une calligraphie monumentale, caractérisée par une ligne de base horizontale sur laquelle des graphies rigides et anguleuses viennent s’implanter verticalement. Servant pour les inscriptions sur pierre, sur bois ou sur métal, elle fut utilisée dans les textes juridiques et religieux.
- un style encore plus cursif, issu directement des premières écritures manuscrites arabes, qui a donné naissance à l’écriture naskhi, « l’écriture des copistes » dont les dérivés sont les plus répandus à l’heure actuelle, qui a remplacé peu à peu l’écriture « coufique ». Ce style, employé dans les textes courants sur papyrus ou parchemin, est caractérisé par des formes souples et arrondies.
Or, si on se réfère maintenant au tracé des chiffres arabes orientaux et occidentaux (figures 25.3 et 25.5), on constate que les chiffres cursifs dits hindi sont graphiquement d’une forme beaucoup plus arrondie que ceux du Maghreb. Autrement dit, les chiffres arabes orientaux suivent d’assez près les règles de la cursive nashki.
En revanche, les chiffres « ghubar » présentent indiscutablement, même s’il s’agit de signes cursifs, un caractère plus anguleux, plus raide et plus rigide . L’écriture arabe dite « maghrébine » n’a donc été au fond qu’un « coufique » manuscrit, les maghrébins et les Andalous étant toujours demeurés fidèles, signalons-le,aux anciennes traditions de l’Islam (couchées par écrit grâce à l’ancienne écriture coufique).
Toujours est-il que, malgré les variations existant entre les deux séries graphiques, l’influence indienne y apparaît nettement.
Ainsi, en procédant à une comparaison, même sommaire, avec les chiffres indiens de type nâgarî, on retrouve dans les séries « ghubar » le 1 indien bien sûr, mais aussi le 2, le 3, le 4 (avec pour l’arabe, une légère modification d’orientation par rapport à son précurseur), le 6, le 7, le 9 et le 0, ainsi que le 5 et le 8 (figure 25.7).
D’un point de vue paléographique, il n’y donc aucune différence entre les chiffres « hindi » du Moyen-Orient et les chiffres « ghubar » du Maghreb, les deux séries provenant d’une même source ; l’origine indienne de ceux-ci comme de ceux-là est donc désormais évidente.
Et c’est bien sous le style « ghubar » des Arabes occidentaux que les chiffres indiens, en partant de l’Espagne, atteindront les peuples chrétiens de l’Europe occidentale, avant même de revêtir la forme des chiffres que nous connaissons actuellement...
Note
Afin
de récapituler toute l’évolution des chiffres
indiens, des premiers chiffres brâhmî
à non chiffres modernes, un organigramme est présent dans
la section documents
annexes : évolution des chiffres indiens.
Vous pouvez aussi
vous
référer aux figures 24.61 à 24.69.
L’originalité de la numération indienne
1) Le principe de position
Beaucoup de témoignages montrent que les indiens sont à l’origine de la numération moderne*. Le témoignage de l’évêque syrien Sévère Sébokt, fait notament figure de preuve. Celui-ci vécut à l’époque où la religion musulmane venait a peine de se constituer au Moyen-Orient. Il étudia la philosophie, les mathématiques et l’astronomie au monastère de Qénersé, au bord de l’Euphrate : un lieu qui connut un rayonnement considérable en raison de sa situation géographique très privilégiée, à la croisée des chemins des savants grecs, mésopotamiens, et indiens.
Cet
évêque a dit
« […] J’omet maintenant de parler de la science
Hindous, qui ne sont même
pas Syriens, de leurs découvertes subtiles dans cette science de
l’astronomie –
qui sont plus ingénieuses que celles des grecs même et des
Babyloniens – et de
la méthode diserte de leurs calculs, et de leurs comput qui
surpassent la
parole, je veux parler de celui [qui est fait ] avec neuf chiffres. Si
ceux qui
croient être arrivés a la limite de la science, parce
qu’ils parlent grec,
avaient connu ces choses, ils seraient peut être convaincus
– bien qu’un peut
tard – qu’il y a aussi d’autres qui savent quelque
chose, non seulement des
grecs mais encore des hommes de langues
différentes. » Ce témoignage est
essentiel : le «comput qui surpassent la parole et qui est
fait avec neuf
chiffres » est, en effet, un système bien
supérieur à la numération
parlée. Alors que cette dernière ne permet pas
l’expression de tout les nombres
( celle ci reposant en effet sur un principe hybride),
le système dont il est ici question permet de les écrire
tous à l’aide de neuf
chiffres seulement. En d’autre termes, le système indien
est d’une capacité de
représentations illimitées.
En
fait, pour parvenir a ce système aussi ingénieux, il aura
fallu découvrir le
principe de position : règle selon laquelle un chiffre a
une valeur qui
varie en fonction de la position qu’il occupe dans
l’écriture d’un nombre.
Dans
cette numération, qui est en fait la notre, un
« 4 » a en effet pour
valeur 4 unités, 4 dizaines ou 4 centaines, selon qu’il
soit placé en première,
en deuxième ou en troisième position dans une
représentation numérique. Pour
écrire le nombre sept mille six cent cinquante-neuf, il suffit
donc désormais
de poser simplement dans cette ordre la suite des chiffres 7, 6, 5 et
9,
puisque selon cette règle, l’écriture 7659 signifie
bien la valeur de :
7 ´ 1000 + 6 ´ 100 + 5 ´
10 + 9.
Ce
principe de position nous apparaît aujourd’hui d’une
telle simplicité que nous
oublions que l’humanité a hésité et
tâtonné durant des siècles avant de le
découvrir, et que des cultures aussi avancées que les
civilisations grecque ou
égyptiennes l’ont complètement ignoré.
Et c’est bien aux Indiens que nous devons, en plus des neufs signes de notre numération écrite, cette découverte majeure qui est sûrement l’une des plus grandes dans l’histoire des mathématiques.
2)
Le zéro, une invention pas nulle du tout !
(voir documents annexes :
classification des zéros de l’histoire)
Les indiens nous montrent
une fois de plus leur avance dans la numération, car il sont
à l’origine d’une
découverte tout au moins aussi importante que le système
de position : le
Zéro !
En effet, autre condition non
moins fondamentale pour qu'un
système de numération soit aussi perfectionné et
aussi efficace que le nôtre:
il lui faut posséder un zéro.
Tant que les peuples ont fait usage de numérations non positionnelles, la nécessité de ce concept ne s'est évidemment jamais fait ressentir, l'existence de chiffres pour des valeurs supérieures ou égales à la base permettant à ces systèmes d'éviter justement les écueils posés par l'absence d'unités d'un certain ordre. Pour écrire 2004 dans la numération hiéroglyphique égyptienne, il suffisait ainsi de reproduire deux fois la fleur de lotus (chiffre du millier) et quatre fois la barre verticale représentant l'unité, le total des valeurs correspondantes donnant bien :
En chiffres romains, ce nombre s'écrivait de même: MMIIII, sans qu’il fût besoin d'introduire un signe spécifique marquant l'absence des centaines et des dizaines de cette représentation. Quant au système chinois, il donnait au même nombre une notation répondant normalement au principe hybride : il suffisait de poser un 2, de le faire suivre du signe indicateur des mille et de terminer par le chiffre 4, selon la décomposition :
2004 = 2 ´ 1 000 + 4.
En revanche, dès lors que l'on a
appliqué régulièrement le principe de
position, il est arrivé un moment où il a
été nécessaire de disposer d’un signe
graphique spécial
représentant les unités manquantes: ainsi
commandée par un usage strict et
régulier de cette règle, la découverte
du zéro a donc marqué l'étape
décisive d'une évolution sans laquelle on
ne saurait imaginer le progrès des mathématiques, des
sciences et des
techniques modernes.
Revenons à notre système
décimal actuel. Pour écrire trente, il faut un
«3 » en deuxième
position pour
qu'il ait la valeur de trois dizaines. Comment signifier alors que ce
chiffre
est en deuxième position si l’on n’a rien en
première position ? Il est donc
indispensable d'avoir un signe ayant justement pour objet de marquer
l'absence
des unités d'un certain ordre.
Ce « quelque chose » qui signifie
rien, ou plutôt « l'espace vide » d'
unité manquante, ce sera finalement le zéro. Parvenir
à concevoir que le vide
puisse et doive être remplacé par un graphisme ayant
précisément pour
signifiant le vide: telle est l'abstraction qui a
nécessité beaucoup de temps
et d’esprit .
Certes au début, ce concept ne fut le synonyme que de la place vide, ainsi comblée. Mais on s'aperçut peu à peu, par la force des choses que « vide » et « rien », conçus d'abord comme des notions distinctes, sont en réalité deux aspects d'une seule et même chose. Et c’est pour cela que le signe zéro ainsi introduit a fini par symboliser à nos yeux la valeur du « nombre nul », concept à la base de l’algèbre et des mathématiques actuelles.
Le zéro est aujourd’hui d’un usage tellement quotidien que l’on ne se rend même plus compte des difficultés de son absence a causées aux premières numérations de position.
Et pourtant, sa découverte a été loin d'être évidente, car en dehors de l'Inde, de la Mésopotamie et de la civilisation Maya, aucune autre culture de l'histoire n'y est parvenue d'elle-même. On en mesure d'autant mieux l'importance par le fait qu'elle a même échappé aux mathématiciens chinois, qui avaient pourtant réussi à découvrir le principe de position. Ce n'est qu'à partir des alentours du VIIIe siècle de notre ère, certainement sous l'influence de la numération moderne, que ce concept a été finalement introduit dans les œuvres scientifiques chinoises. Les savants babyloniens l'ont d'ailleurs ignoré eux aussi pendant plus d'un millénaire.
Les savants babyloniens ont certes
tenté de surmonter la difficulté en
ménageant un espace vide là où les unités
d'un certain ordre venaient à
manquer. Aussi les représentations se faisaient-elles un peu
comme si nous
notions le nombre « cent six » sous la forme: 1.
.6. Mais le problème
ne fut évidemment pas résolu pour autant, cet espace vide
étant souvent omis
par des scribes étourdis ou peu consciencieux. Il était
de plus assez difficile
de symboliser de la sorte l'absence de deux ou plusieurs ordres
d'unités
consécutifs, puisqu'un vide suivi d'un autre vide ne fait
toujours qu'un seul
espace vide ! Il fallut donc attendre le IVe
siècle avant notre
ère pour assister à l'introduction d'un signe particulier
spécialement destiné
à cet usage. Cette époque tardive dans l’histoire
de la Mésopotamie a donc
ainsi marqué l’apparition d’un concept
éminemment abstrait : le zéro
babylonien, le premier de tout les temps, suivi quelques siècles
plus tard du
zéro maya.
Mais, malheureusement pour ces peuples,
ils ne surent tirer un réel profit de cette découverte.
Bien
sûr, les Maya avaient conçu la notion comme un
véritable zéro, puisqu’ils ont
utilisé ce dernier en position médiale aussi bien qu'en
position finale. Mais
ce concept fut privé de toute possibilité
opératoire.
Le zéro babylonien eut non seulement
cette possibilité, mais il remplit
même, au moins entre les mains des astronomes, la fonction
d'opérateur
arithmétique (l'ajout d'un signe zéro à la fin
d'une représentation chiffrée
multipliant par soixante, c'est-à-dire par la base, la valeur du
nombre
correspondant). Mais il ne fut jamais conçu comme un nombre synonyme de «
vide » seulement, il ne correspondit jamais au sens de la «
quantité nulle » .
Malgré ces découvertes fondamentales, aucun de ces peuples ne sut donc franchir le pas décisif conduisant à l'ultime perfectionnement de la notation numérique. Et c'est bien à cause de ces imperfections que les systèmes positionnels babylonien, chinois et maya ne se sont jamais vraiment adaptés à la pratique des opérations arithmétiques et n'ont jamais pu donner lieu à des développements mathématiques identiques a ceux des indiens, qui eux, avaient donné au zéro le sens que nous lui connaissons aujourd’hui.
3)
L’origine du système de position et du zéro.
Un des plus
anciens documents indiens nous permet d’avoir un premiers indice
sur l’origine
de la numération indienne. Voici, pour
commencer cette allusion figurant dans la Ganitasârasamgraha
du mathématicien
Mahâvîrâchârya
qui, donnant le nombre 12345654321 comme le résultat d'un calcul
effectué
antérieurement, le définit de la manière
suivante :
ekâdi§hadantâni
kramena hînâni
C'est-à-dire comme la quantité
« débutant par un [et allant ensuite
croissant] jusqu'à six, puis diminuant dans
l'ordre ».
Ce fait est d'autant plus remarquable qu'il
s'agit là d'un nombre que l'on
qualifie de « palindrome » : c'est un nombre qui ne change
pas de valeur
lorsqu'on lit ses chiffres de droite à gauche ou de gauche
à droite, et dont la
propriété caractéristique ne peut apparaître
que s'il est écrit dans une
numération de position :
123456543214
Notons
au passage que les nombres de ce genre possèdent des
propriétés curieuses,
comme celle-ci par exemple :
12=1
112=121
1112=12321
11112=1324321
111112=123454321
1111112=13245654321
11111112=1234567654321
…
Il s'agit là de
propriétés que
les numérations non positionnelles des temps antiques ne
pouvaient permettre de
déceler en raison de leurs incohérences et surtout des
principes qui les
régissaient.
Autant
dire que la découverte des nombres de ce genre n'a pu être
faite qu'après la découverte
du principe de la position des chiffres. Et comme on
sait que le Ganitasârasamgraha
date des alentours de + 850, on peut donc en inférer, pour
cette
découverte, une date encore plus haute que le milieu du IXe
siècle.
De fait, le Lokavibhâga est le plus
ancien document authentique
indien actuellement connu faisant état de l'usage du zéro
et de la numération
décimale de position. Comme nous allons le voir, il remonte bien
au milieu du Ve
siècle après J.-C.
On peut même en préciser
l'année grâce aux vers suivants qui en sont
extraits et qui vont servir de base à cette analyse :
vaishve sthite ravisute vrshabhe cha
jîve
râjottareshu sitapaksham upetya chandre
gr âme cha pâtalikanâmani
pânarâshtre
shâstram purâ likhitavân munisarvanandî (vers 52)
samvatsare tu dvâvimshe
kâiichîshah simhavarmanah
ashîtyagre shakâbdânâm siddham etoch
chhatatroye (vers
53).
En
voici la traduction :
Vers 52 : « Ce traité a
été écrit
jadis par le Muni Sarvanandin, dan le
bourg nommé Pâtalika, au royaume de Pâna, tandis que
Saturne éta en Vai§hva, Jupiter en
Taureau, la Lune en Râjottara, au premier jour
d la
quinzaine claire. »
Vers 53 : « Année vingt-deux [du
règne] de Simhavarman, roi de Kâiichl trois cent
quatre-vingts des années des
Shaka. »
Il est dit qu'au moment de
la
rédaction (ou de la copie) du traité, la
position de la Lune était en Râjottara.
Ce nom désigne en fait le nakshatra appelé
Uttaraphalgunî: il s'agit de l'une
des 27 constellations de la sphère sidérale,
divisée selon la révolution
sidérale de la Lune. Et comme il est question ici de la
dixième constellation,
cette position correspond donc (selon des calculs astronomiques bien
établis) à
l'intervalle allant de 146° 40' à 16° de longitude
sidérale. Il est précisé de plus
qu la Lune était
dans sa phase correspondant au premier jour de la « quinzaine
claire » : il
s'agit donc de la première quinzaine du mois. On relève
enfin que le traité est
daté de l'année 380 de l'ère Shako, le
millésime correspondant étant ici écrit « en
toutes lettres » au moyen des noms
d nombre ordinaires de la langue sanskrite.
Récapitulons
les principales données, dont l'interprétation en clair a
été faite selon les
éléments de l'histoire de l'astronomie indienne. Nous
avons là :
- le millésime, à
savoir l'année 380 de l'ère
Shaka ;
- le quantième, c'est-à-dire
l'indication du
jour, puisque la Lune se trouve, alors au premier jour de la
première quinzaine
du mois ;
- Et la
position de la Lune à 146° 40' / 160° de longitude
sidérale, ql permet avec la
donnée précédente de déterminer le mois.
Ce qui nous donne une date qui correspond
exactement, dans le calendrier julien, au :
Telle est la date précise du traité de cosmologie. De plus, ce document a été analysé, et il s’avers qu’il est authentique.
Néanmoins,
on ne sait pas si ce document a été écrit par son
auteur même ou bien a été
réécrit par un copiste. Mais, ce document est le plus
ancien que l’on
connaisse, et c’est la seule date que nous pouvons apporter sur
l’origine du système
de position indien et de l’utilisation du zéro. Par
contre, une chose demeure
certaine, c’est que la découverte de notre
numération actuelle avait été faite
bien avant ce fameux lundi 25 août de l’année +
458…
4)
Comment est née la numération moderne ?
Comme
nous avons pu le voir dans l’exemple précédent, les
astronomes indiens
utilisaient le procédé des symboles numériques de
la langue sanskrite. Un mot
correspondait à un nombre.( la Terre ou bien la Lune
étant uniques, ils
correspondaient au chiffre 1, les mots jumeaux ou pair au chiffre 2,
etc…)
Il était très difficile pour
les astronomes indiens d'exprimer leurs
données numériques au moyen de la notation en chiffres,
car en Inde celle-ci
fut bien loin de présenter la même fiabilité que le
procédé des mots-symboles
sanskrits. Il faut en effet se rappeler que la forme graphique des
chiffres est
toujours restée mal précisée dans le
sous-continent indien, chacun les ayant
adaptés à son propre style d'écriture. Autrement
dit, les graphismes respectivement
associés aux chiffres de 1 à 9 ont varié non
seulement d'une région à l'autre
et d'une époque à la suivante, mais aussi d'un auteur ou
d'un copiste à son
collègue. Et ce qui était un
2 pour les
uns pouvait fort bien être interprété par d'autres
comme un 3, un 7 ou même un 9.
Aussi, lorsqu'un
copiste venait à commettre une erreur de transcription, nul ne
risquait-il de
s'en apercevoir.
Pour
les hommes du XXe siècle qui utilisent la notation
décimale chiffrée : de
position, issue pourtant du système indien, la situation est
complètement
différente, puisque les graphismes et leurs valeurs respectives
sont
aujourd'hui fixés et reconnus par une sorte de normalisation
internationale.
Mais pour les astronomes indiens, à cause de l'absence
même de toute norme,
l'usage des représentations chiffrées n'était
d'aucune sécurité, comportant
même des risques de graves confusions. En revanche, avec la forme
versifiée des
mots-symboles, le rythme du ou des vers en question pouvait être
rompu par la
moindre erreur, qui pouvait être ainsi aussitôt
décelée.
Voilà pourquoi les symboles
numériques ont constitués la notation
favorite des astronomes indiens pendant de nombreux siècles.
Mais il y a encore à cela une autre
raison, tout aussi fondamentale que
la précédente.
Le texte astronomique indien, on l'a dit,
était toujours versifié: il
s'agissait en fait d'une prosodie de syllabes longues ou brèves,
comme dans la
métrique gréco-latine, à ceci près que les
mètres utilisés dans les textes
astronomiques indiens ainsi que la quantité de syllabe
étaient toujours
parfaitement clairs et très systématiques.
C'est dire l'avantage qu'offrait le
procédé des mots-symboles non
seulement à la conservation des nombres, mais aussi et surtout
à la mnémonique.
C'était pour les savants indiens un moyen d'aider et de
renforcer la mémoire:
une sorte de technique numérique permettant d'utiliser au mieux
la mémoire dans
un sens bien déterminé, en fixant les souvenirs par
associations d'idées ou
d'images selon des rythmes fixés par un mètre
répondant aux règles de la
vérification sanskrite.
Pour mieux comprendre l’utilité de cette méthode, nous pouvons voir un exemple concret en Europe qui se sert des mots dans le même souci de clarté :
Les mathématiciens de la vieille
école française utilisaient et
inculquaient pour retenir et faire retenir les trente premières
décimales du
nombre π :
Que
j'aime à faire apprendre ce nombre utile aux sages.
Immortel Archimède, artiste,
ingénieux,
Qui,
de ton jugement peut priser la valeur ?
Pour
moi, ton problème eut de pareils avantages.
A ceci
près qu'il s'agit ici d'un principe différent, puisque
c'est le nombre de
lettres constituant un mot qui donne le chiffre de la décimale
correspondante :
Que
j' aime à
faire apprendre ce nombre utile aux sages.
3 1
4 1
5
9
2 6 5 3
5
Immortel Archimède, artiste,
ingénieux,
8
9
7
9
Qui, de ton jugement peut priser la valeur ?
3
2 3
8
4
6 2 6
Pour moi, ton problème eut de
pareils avantages.
4
3
3
8 3
2 7
9
En apprenant par cœur ces quatre vers,
on arrivait ainsi à mémoriser le
chiffre 3 suivi des tentes premières décimales du nombre
π :
π ~
3,141592653589793238462643383279.
Tout s'éclaire désormais dans
ces conditions: c'est bien pour assurer la
pérennité à leurs multiples données
astronomiques et numériques et pour éviter
à leurs disciples et lecteurs toute équivoque dans
l'interprétation de ces
données que les astronomes indiens avaient
développé et longtemps conservé le
procédé des symboles numériques de la langues
sanskrite.
Après cet exemple, qui nous montre
bien l’utilité du système utilisé par
les savants indiens, on vient à se questionner sur la raison
pour laquelle les
mots utilisés ont t’ils été changer en signe
graphique ?
Dans tous les cas, l'objectif était le
même. Compte tenu des possibilités et des exigences des
matériaux utilisés, il
s'agissait en effet de gagner du temps, d'écrire le plus vite
possible. On
s'efforça donc de parvenir à des tracés autant que
possible ininterrompus, que
l'on pouvait obtenir soit par petites touches rapides, soit d'un seul
coup de
pinceau. Ainsi la notation s'orienta-t-elle désormais dans le
sens d'une plus
grande facilité d'écriture, usant dès lors et
abusant même des ligatures,
suivant des gestes exécutés sans lever le pinceau et
permettant ainsi de
grouper plusieurs traits en un seul signe. D'où une
schématisation de plus en
plus accrue des vieux groupements d'unités qui aboutit
finalement à une
modification radicale des graphismes initiaux. Et c'est ainsi que les
mots
représentant les nombres ont été remplacés
par
des chiffres brahmi correspondants,
et sont ainsi devenus des signes dépouillés de toute
intuition sensible,
n'ayant plus aucune ressemblance avec leurs lointains prototypes
idéographiques.
Ainsi, on passa des mots Sanskrits aux neufs chiffres Brahmi, qui furent de plus en plus utilisés en Inde. Nous devons à la civilisation Indienne , et à elle seulement, la découverte de notre numération moderne.
Cet événement d'une importance
historique considérable s'est très
vraisemblablement produit aux alentours du IVe siècle de notre
ère. Il est dû au génie des
savants de l'Inde
qui ont su réunir ces trois grandes idées :
- en
parvenant d'abord à des chiffres de base
détachés de toute intuition sensible: des chiffres
significatifs distincts,
au nombre de neuf, n'évoquant pas visuellement les unités
représentés, et qui,
dès le début de notre ère, constituèrent
déjà la préfiguration de nos neuf
chiffres actuels, avant même de se diversifier
considérablement par la suite ;
- en découvrant le
principe de position, et
en l'appliquant régulièrement à ces chiffres,
faisant donc désormais de ceux-ci
des signes numériques totalement dynamiques ;
- en inventant enfin le zéro et en lui conférant de grandes
possibilités opératoires.
Cette vérité historique est résumée par le schéma de synthèse ci-après :
La contribution indienne fut donc essentielle, car elle permit de faire se rejoindre les histoires parallèles du calcul et de la notation numérique, rendant ainsi possible la démocratisation du calcul. Alors que ce domaine était resté confiné pendant des millénaires entre les mains d'une caste très privilégiée (celle des calculateurs professionnels), cette découverte donnait dès lors, même aux esprits les plus fermés à l'arithmétique, la possibilité d'accéder à cet art.
En 628, dans son Brâhmasphutasiddhânta,
Brahmagupta le définira même comme le résultat
de la soustraction d'un
nombre par lui-même (a - a = O), et décrira ses
propriétés en ces termes :
«
Lorsque le zéro est ajouté à un
nombre ou soustrait d'un nombre, celui-ci demeure inchangé; et
un nombre multiplié
par zéro devient zéro. »
Brahmagupta
donnera d'ailleurs, dans le même ouvrage, les règles
suivantes à propos des
opérations à effectuer sur ce qu'il appellera les «
biens » (dhana), les « dettes » (rina) et le « nul » (kham)
« Une
dette moins zéro est une dette.
Un
bien moins zéro est un bien.
Zéro moins
zéro est nul.
Une
dette retranchée de zéro est un bien,
Alors
qu'un bien retranché de zéro est une dette.
Le
produit de zéro par une dette ou par un bien est zéro.
Le
produit de zéro par lui-même est nul.
Le
produit ou le quotient de deux biens est un bien.
Le
produit ou le quotient de deux dettes est un bien.
Le
produit ou le quotient d'une dette par un bien est une dette.
Le produit ou le quotient d'un bien par une dette est une dette. »
L'algèbre moderne était née, et le savant en avait ainsi formulé les règles de base: en remplaçant ci-dessus le « bien » et la « dette » respectivement par le « nombre positif » et le « nombre négatif » , nous verrons aussitôt qu'à cette époque les mathématiciens indiens connaissaient fort bien la fameuse « règle des signes » ainsi que toutes les règles algébriques fondamentales.
On mesure donc
bien l'apport
fondamental de cette brillante civilisation : un apport qui ne s'est
pas limité
au seul domaine de l'arithmétique; en ouvrant la voie à
l'idée généralisatrice
du nombre, les savants indiens ont permis l'essor de l'algèbre,
et joué par
conséquent un rôle essentiel dans le développement
des mathématiques et des
sciences exactes.
L’introduction du système de numération indien en terre d’islam puis en Occident
Comment la numération et les
méthodes de calculs d’origines indiennes ont-elles
été introduites en
Islam, pour être ensuite adoptées en Occident ?
Il y a là principalement deux hypothèses :
Il n’est pas impossible que l’Islam ait pris
connaissance de
la numérotation indienne grâce aux armées
qu’elle envoya en Inde dès le début
du VIIIe siècle de notre
ère, époque ou une partie du Panjâb et toute la
vallée de l’Indus fut conquit.
Cependant , il est beaucoup plus plausible que l’armée n’ait jouée aucun rôle. En effet, on pense que la transmission des chiffres indiens aux arabes occidentaux est due en particulier à l’action d’une délégation de savants, ayant comme objectif la communication de la science indienne au monde musulman. De plus, plusieurs récits antérieurs appuient cette hypothèse, notamment celui fait par l’astronome Idn al Adami vers l’an 900.
En effet, les scientifiques Indiens apportaient leurs
thèse à
Bagbad centre scientifique de l’Islam. Or, on sait que les
Astronomes Indiens
ont tous utilisés, dans leurs traités, le système
de notation des nombres au
moyen des symboles numériques sanskrits : une notation qui
leurs
permettaient une parfaite conservation de leurs données
numériques et qui
reposait sur un système de position et l’emplois du
zéro. Autrement dit,
lorsque les arabes ont reçu l’astronomie indienne, ils
n’ont pas pu ne pas
prendre des symboles numériques, des chiffres et calculs
indiens. Ce qui veut
dire que l’introduction des éléments et des
procédés de l’astronomie Indienne
s’est faite très exactement avec celle de
l’arithmétique indienne.
C’est pourquoi il convient de déterminer
l’époque de la
transmission de cette astronomie pour connaître la date de
l’introduction des
chiffres indiens en terre d’islam.
Plusieurs auteurs s’accordent à dire que l’an
776 de notre ère
serait la bonne, date ou les savants indiens se
présentèrent au calife al
Mansur. En effet, un personnage venu d’Inde , très
versé dans le calcul connu
sous le nom de sindhind et relatif aux mouvements des astres, ainsi que
plusieurs méthodes pour calculer précisément les
phénomènes astronomiques,
présenta un ouvrage au calife. Al Mansur ordonna que cet ouvrage
soit traduit
en langue arabe, afin d’aider les musulmans à
acquérir une connaissance exacte
des étoiles, et que l’on composât,
d’après cette traduction, un ouvrage que les
Arabes pussent prendre pour base. Ce travail fut confié à
al Fazzari, qui
rédigea, d’après ce traiter astronomique Indien, un
ouvrage que les astronomes
indiens appellent Grand Sindhind. (Sindhind correspond à la
traduction arabe du
sanskrit siddhânta) .
En outre, il paraît
vraisemblable que l’astronomie et les mathématiques
indiennes aient été connues
des Musulmans à travers l’œuvre de l’astronome
et mathématicien Brahmagupta. En
effet, ce fameux mathématicien oeuvra pour transmettre la
numération indienne
aux arabes.
Mais, un autre homme joua un rôle tout au moins aussi
important; grand mathématicien arabo-islamique Al Khuwarizmi,
né en 843,
demeura célèbre pour deux ouvrages qui ont largement
contribués à faire
connaître et à vulgariser les chiffres et les
méthodes de calcul, ainsi que les
procédés algébriques d’origine indienne,
aussi bien dans le monde musulman
qu’en occident chrétien.
Intitulé Al jabr wa ‘l
muqabala (« transposition et
réduction »), l’un de ces ouvrages
fut consacré aux procédés fondamentaux de la
science algébrique. Il nous est connu
dans sa version arabe ainsi que dans sa version latine. Ce livre fut
extrêmement célèbre, au point qu’on lui doit
le nom même, aujourd’hui adopté
universellement, de cette branche mathématique fondamentale que
l’on appelle l’Algèbre.
L’autre ouvrage d’Al Khuwarizmi portait le titre
arabe Kitab
al jami wa’l tafriq bi hisab al hind (« livre de
l’addition et de la
soustraction d’après le calcul des indiens »).
L’original s’est hélas
perdu, mais il nous reste plusieurs traductions latines faites à
partir du XIIe
. C’est le premier livre arabe connu où la
numération décimale de
position et les méthodes de calculs d’origine indiennes
font l’objet
d’explications détaillées à l’appui
d’exemple très nombreux. Comme l’autre, il
jouira plus tard dans les pays d’Europe occidentale d’une
telle renommée que le
nom même de son auteur finira par devenir la désignation
générique du système.
Latinisé, le nom d’Al Khuwarizmi deviendra d’abord
Alchoarismi, puis il se
transformera en Algorisimi, Algorismus, Algorisme et enfin Algorithme.
Ce nom
désignera d’abord le système constitué du
zéro, des neuf chiffres et des
méthodes de calculs d’origines indiennes, avant même
d’acquérir l’acception
plus large et plus abstraite que nous lui connaissons aujourd'hui. Mais
cependant, les savants indiens décrits
précédemment n'étaient pas en contact direct avec
les populations arabes occidentales vivant au Maghreb, dont on sait
qu'elle possédait pourtant aussi une numération de
position calquée sur celle des Indiens (voir partie 1),
diffusée ensuite dans le monde occidental par le biais de
l'Espagne conquise.
La question que l’on
se pose donc à présent est de savoir quand et comment
l’arithmétique indienne
dans les provinces d’Afrique du Nord et d’Espagne.
Il est alors nécessaire de constater que, quoique
l’unité de
l’empire des califes fût rompue de bonne heure, les
pèlerinages à La Mecque, un
commerce florissant, des voyages d’individus, des migrations de
peuplades
entières, et même des guerres , ne cessèrent
d’entretenir, entre les
différentes contrées habitées par les Musulmans,
des relations nombreuses. Dès
lors que l’arithmétique indienne fut connue des Arabes
orientaux, elle dut donc
s’introduire dans les pays arabes de l’Occident.
L’extrême rareté des données
relatives à ce fait de l’histoire des sciences ne nous
permet pas d’en fixer
l’époque avec précision, mais il semble probable
que les Arabes d’Afrique et
d’Espagne reçurent l’arithmétique indienne
dans le courant du XIè siècle
de notre ère.
Par ailleurs, compte tenu des relations tout à fait
privilégiées que le califat de Cordoue avait entretenues,
notamment avec
Byzance, et qui avaient permis la circulation de plusieurs textes
anciens, on
peut supposer que ces relations avaient dû faciliter aussi, hors
d’Espagne et
d’Afrique du Nord, des contacts et des rencontres avec des
représentants de la
civilisation indienne en ces lieux d’échanges très
cosmopolites de l’Empire
Byzantin. Mais il est faut bien sûr songer aussi aux contacts et
communications
que les Andalous (Espagnols) et les Maghrébins ont certainement
dû établir avec
leurs cousins d’Orient, indépendamment de la route menant
à Byzance.
La transmission de l’arithmétique indienne à
ces régions a
donc pu s’opérer aussi bien par
l’intermédiaire de traités composés par des
Arabes orientaux, que par des contacts plus directs, plus
immédiats avec les
savants indiens, et donc tout à fait semblables à ceux
qui s’étaient produits
entre l’Inde et les Arabes d’Orient.
Enfin, nous devons aussi considérer un autre facteur qui,
en
plus des savants indiens, a joué un rôle
considérable dans la transmission de la
numération indienne à la civilisation arabe. Ainsi,
les marchands et les
négociants juifs ont probablement participé à la
diffusion de cette technique
numérale. Ces derniers parlaient en effet aussi bien la langue
arabe qu’ils
maniaient le persan, le latin, le grec ou toutes autres langues des
terres
européennes. Cette possibilité de transmission
commerciale est d’ailleurs
suggérée par Ibn Khurdadbeh, géographe persan
établi à Bagdad.
Ce derniers écrit dans un ouvrage intitulé
« Livre des
Routes et des Provinces », composé vers 850 de notre
ère : Les
marchands juifs […] font d’incessants voyages du Levant au
Couchant et de
l’Occident à l’Orient, tantôt par mer
tantôt par les terres. Ils embarquent des
terres latines par la mer occidentale [ la Méditerranée ]
et se dirige vers
Farama ; de là ils débarquent leurs marchandises les
placent dans des
caravanes et se dirigent, par les terres, vers Colzom, en bordure de la
mer
orientale [ la Mer Rouge]. De là, ils rembarquent et se dirigent
vers le Hejaz
[ l’Arabie ] et vers Jiddah, pour effectuer un nouveau
périple vers le Sind,
l’Inde et la Chine. Puis ils retournent en emportant avec eux des
produits des
terres orientales… Ces voyages se font aussi par la route. Les
marchands,
quittant alors les terres latines, vont vers l’Andalousie,
traversent le bout
de mer [ le détroit de Gibraltar ] et passent par le Maghreb
avant de traverser
les provinces africaines et l’Egypte. Ils se dirigent ensuite
vers Ramallah,
Damas, Kufa, Bagdad et Basra, avant d’atteindre successivement
Ahwaz, le Fars,
Kerman, l’Indus, l’Inde et la Chine.
Une indication semblable au sujet des marchands voyageurs de cette époque est fournie, dans la première moitié du XIIIè siècle, par le poète persan Sa’adi dans ses vers tirés du Gulistân (« Jardin des Roses »). Mais, contrairement à Ibn Khurdadbeh, le poète ne précise pas l’origine de ce marchand voyageur, lequel n’est donc pas forcément juif. Et pour cause : les juifs, de tout temps, ne détiennent pas le monopole du commerce international. Aussi les commerçants juifs n’ont-ils constitué qu’un des multiples maillons de la chaîne de cette transmission.
Dans tous les cas, juifs ou non, de grands voyageurs comme ces commerçants manipulaient les nombres aussi fréquemment qu’ils effectuaient leurs périples et leurs transactions commerciales. Et tout comme les nombreuses langues apprises lors de leurs contacts, ils n’avaient donc pas pu ne pas s’initier aux arithmétiques des divers peuples qu’ils rencontraient régulièrement lors de leurs voyages à travers le monde.
Et comme l’inde faisait partie du passage obligé,
on conçoit
aisément qu’ils se soient trouvés aussi dans la
nécessité de s’initier à la
numération et à l’arithmétique indiennes,
formant ainsi l’un des points de la
liaison entre l’Inde et la société arabe.
Conséquence :
Les arabes finirent par adopter le système indien et le propagèrent, petit à petit, dans tout leur empire, jusqu’aux portes de l’Europe, en Andalousie. Le calcul par l’écrit au moyen des « chiffres arabes » fut connu assez rapidement mais la diffusion resta lente.
L’un des personnages influent de l’époque, Gerbert d’Aurillac (945-1003), moine auvergnat, en complétant sa formation en Catalogne de 967 à 970, alors point de jonction entre le monde chrétien et musulman, prit bientôt connaissance de l’emploi des chiffres indiens (sans le zéro) dans la société arabe. A la faveur de ce séjour en Espagne musulmane, il se mit à l’école des maîtres arabes qui lui enseignèrent le système de numération ainsi que les méthodes de calcul d’origine indienne. Homme de sciences, il n’en fut pas moins homme de pouvoir, puisqu’il devint évêque de Reims quelques années plus tard. Profitant de sa position, il mène une action éditoriale offensive (en se procurant des manuscrits, en faisant copier des ouvrages rares) et organise un système d’enseignement dans lequel les mathématiques ont la part belle.
En 999, ultime consécration, Gerbert d’Aurillac devient le pape Sylvestre II dit « le Pape de l’an mil » . Au-delà de sa politique éducative, il contribue à introduire les chiffres arabes en Occident. Sa tâche fut ardue tant ces « chiffres arabes » paraissaient hermétiques et mystérieux, voire inquiétants ; au niveau calligraphique notamment, par leur contour irrégulier, ils sont plus difficiles à tracer que les chiffres romains utilisés par la civilisation chrétienne jusque-là.
On pouvait imaginer qu’avec le pape de l’an mil une ère totalement nouvelle s’ouvrait pour l’Europe et que les chrétiens allaient bientôt accomplir toutes sortes de progrès grâce à la numération et aux méthodes de calcul importées du monde arabo-musulman. Pure vue de l’esprit, que l’ignorance et le conservatisme absolu des Européens de l’époque ont totalement contredite.
Les chiffres et la numération modernes leur furent certes apportés dès la fin du Xe siècle. Mais l’utilisation qu’ils en firent pendant plus de deux cent ans fut des plus primitives. Le système n’avait alors servi qu’à simplifier des méthodes archaïques et à déboucher, en fin de compte, sur « des règles que les abacistes en sueur comprenaient à grand-peine ». En fait, l’emploi des chiffres arabes, en démocratisant le calcul, nuisait aux calculateurs professionnels, ceux qui pratiquaient les opérations sur l’abaque à jetons. Ces derniers, formant une puissante caste protégée par l’Eglise, résistance trouvèrent le moyen d’opposer une vive résistance. Sans doute plus conservateurs que les autres, ils préférèrent graver, sur leurs jetons de corne, les chiffres grecs de a=1 à q=9 ou encore les chiffres romains de I à IX, plutôt que d’y imprimer les « signes maléfiques » de « ces suppôts de Satan » qu’étaient les arabes à leurs yeux. Gerbert lui-même n’échappa guère à cet esprit d’arrière-garde : il jouissait d’une réputation diabolique , accusé d’avoir vendu son âme à Lucifer contre une fabuleuse carrière politico-religieuse.
Mais bientôt, dès le XIIe siècle, l’Europe connut un renouveau fébrile dans les arts et les sciences pendant la période connue sous le nom de Renaissance Européenne. Cette époque a constitué notamment une étape décisive non seulement dans la diffusion des méthodes de calcul d’origine indienne, mais encore dans la stabilisation et le rationalisation des formes cursives des chiffres correspondants. Dès ce temps-là, en effet, on assiste à l’abandon progressif des formes de la période précédente et à un retour à la graphie d’origine arabe ; on voit ainsi ces chiffres adopter peu à peu une forme cursive qui tendra à se stabiliser pour acquérir définitivement l’allure que nous leur connaissons à l’heure actuelle.
Autrement dit, c’est bien au XIIe siècle (et non au XVIe comme pourrait le laisser présager la diffusion de l’imprimerie) qu’il faut placer les racines véritables de la graphie de nos chiffres modernes, les transformations – apparemment radicales – que ceux-ci ont subies dès la fin du Moyen-Age se rattachant en fait aux tendances générales de l’écriture humanistique. La réinvention de l’imprimerie elle-même, vers 1540, n’y changera rien de substantiel : cette découverte fixera simplement la forme de ces chiffres suivants des prototypes bien déterminés et adoptés une fois pour toutes.
Cette période de renaissance fut aussi celle des croisades contre les musulmans : paradoxalement, ces guerres ont eu pour résultat la reconquête d’une science et d’une culture que les Croisés étaient venus combattre. Et c’est ce qui permit de réaliser, en fin de compte, le progrès que ni la science ni les initiatives de Gerbert d’Aurillac n’avaient réussi, deux ou trois siècles plus tôt, à imposer à l’Occident dans le domaine des chiffres, du zéro et du calcul. Grâce aux nombreux échanges impliqués par ces guerres avec les musulmans d’Orient, certains clercs de la suite des Croisés apprirent en effet le calcul écrit à la manière indo-arabe. Petit à petit, l’abaque et ses émules tombèrent en désuétude, laissant place à des méthodes de calcul plus simples, plus pratiques, plus élégantes et plus expéditives, que l’on désigna dès lors sous le nom d’algorisme. C’est donc ainsi que sont nés les premiers « algoristes » européens aux portes mêmes de Jérusalem assiégée. Mais, contrairement aux « abacistes », les tout nouveaux experts européens du calcul écrit furent bien obligés d’adopter désormais le zéro pour marquer les unités manquantes et éviter de la sorte toute confusion dans les représentations et les opérations.
Cette fois, les chiffres « arabes » allaient donc bien pénétrer en Occident en même temps que le zéro et les méthodes de calcul d’origine indienne. L’autre contact avec le monde musulman qui se fit de l’autre côté de la Méditerranée, par la Sicile et surtout par le Maghreb et l’Espagne contribua aussi pour une grande part à la diffusion de ce savoir. Au XVIe siècle, les chiffres indo-arabes s’imposent enfin en Europe et laissent aux chiffres romains un emploi marginal.
Conclusion synthétique : l’invention du système de numération indien, une conjonction de trois grandes idées
La multitude et l’extrême diversité des informations contenues dans ce travail d’étude font maintenant apparaître définitivement notre numération moderne comme une découverte indienne, effectuée probablement avant le Vè siécle de notre ère. Et tous ces faits la font bien apparaître, sans l’ombre d’un doute, comme une invention proprement indienne, réalisée dans un contexte très spécifique (qui témoigne au demeurant de la richesse et de l’ingéniosité de l’esprit indien).
Ainsi,
il y a plus de 1500 ans, en Inde, les mathématiciens mettent au
point un
système leur permettant de représenter tous les nombres
de l’univers à l’aide
de dix figures élémentaires indépendantes. Ce
système se répand par la suite
dans le monde arabe oriental avant d’être diffusé
par Al Khuwarizmi (VIIIé/Ixè
siècle) dans tout le monde arabe, puis en Occident
chrétien. Par un jeu de
transformations d’écriture, les chiffres indiens, les
chiffres indiens
deviennent, à faux titre, nos « chiffres
arabes » (0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9) pendant qu’en
Orient, ils
conservent leur forme originelle. Avec ces dix symboles, on sait
représenter
tous les nombres comme nos lettres désignent tous les mots.
Notons qu’ils sont
même d’un emploi plus puissant que notre alphabet
puisqu’une suite de n’importe
quels chiffres forme un nombre (et un seul), ce qui n’est pas le
cas avec les
lettres (une suite de lettres peut former un mot ne faisant pas sens).
L’efficacité du système résident en effet
dans le rôle joué par la position des
chiffres : le premier chiffre en partant de la droite comptabilise
les
unités, le deuxième les dizaines, le troisième les
centaines…et ainsi de suite.
Mais pour que ce système s’épanouisse, encore
faut-il pouvoir signifier
l’absence d’unités, de dizaines… C’est
le rôle du zéro. Avec ce signe, pour
représenter par exemple le nombre « cent »
dans ce système de base
10, on n’utilise pas de nouveau symbole (comme avec les chiffres
romains) : 100 représente 1 centaine ajoutée
à 0 dizaine et à 0 unité.
(Précisons que, par « base 10 », on veut
dire que l’on utilise
seulement 10 symboles de chiffres pour écrire tous les nombres.)
Mais
la découverte fondamentale de ce système de
numération de position n’est
évidemment pas apparue d’un seul coup comme le
présent achevé d’un dieu ou d’un
héros civilisateur, ou comme le fruit de l’imagination
d’un « savant de
génie ». Elle a une origine profonde et une
très longue histoire.
Issue
d’une véritable cascade d’inventions et
d’innovations, elle s’est dégagée peu
à
peu, après des millénaires d’une extraordinaire
profusion d’essais et de
tâtonnements, de percées fulgurantes et de
piétinements.
Elle est
le fruit de la lente maturation de systèmes primitifs,
initialement bien conçus
et patiemment perfectionnés au cours des âges. Tout
s’est passé finalement
comme si, au travers des âges et des civilisations,
l’esprit humain avait
expérimenté toutes les solutions possibles au
problème de la numération
(principe d’addition et numérations additives ;
principe multiplicatif et
numérations hybrides, voir documents annexes)
avant de retenir et
d’adopter universellement celle qui devait apparaître comme
la plus abstraite,
la plus perfectionnée et la plus efficace de toutes : notre
numération de
position moderne.
Le pas
décisif dans l’adoption de systèmes de
représentation numérique de capacité
illimitée, simples, rationnels et immédiatement
utilisables pour divers calculs
ne pouvait donc être franchi que par l’invention d’un
système de numération de
position bien conçu.
C’est
toutefois en simplifiant des notations de type hybride ou en
abrégeant les
systèmes de transcription des nombres sur l’abaque
à calcul (dans le cas des
indiens, par exemple), que l’on est parvenu finalement à
franchir cette étape
essentielle.
Mais
en retour, ce progrès exigera un degré beaucoup plus
élevé d’abstraction,
imposant l’admission du concept le plus délicat de
l’histoire : le zéro,
découverte suprême et tardive des arithméticiens,
qui sauront dès lors la
Parachever en lui donnant, en plus du
« vide », le sens, proprement numérique,
de la quantité nulle.
Quant à la civilisation indienne, à laquelle nous devons notre numération moderne, son génie se mesure désormais d’autant mieux qu’elle est la seule de l’histoire à avoir réalisé ce chef d’œuvre, qui est né de l’improbable conjonction de trois grandes idées :
- l’idée de donner aux chiffres de base des signes graphiques détachés de toute intuition sensible, n’évoquant donc pas visuellement le nombre des unités représentées
- l’idée d’adopter le principe selon lequel les chiffres de base ont une valeur qui varie suivant la place qu’ils occupent dans les représentations numériques
- et enfin l’idée de se donner un zéro totalement « opératoire », permettant de remplacer le vide des unités manquantes et ayant simultanément le sens du « nombre nul ».
Quelques cultures ont certes découvert bien avant la civilisation indienne l’une ou, à la rigueur, deux des caractéristiques de cette réalisation intellectuelle, mais aucune ne put réunir les trois idées précédentes en un système complet et cohérent. Ainsi, les Babyloniens, les Chinois et les Mayas avaient découverts le principe de position et le zéro, mais n’imaginaient pensé à opérer grâce à des nombres indépendants de toute intuition visuelle.
Dans tous les cas, la réalisation fondamentale des savants indiens aura profondément modifié l’existence de l’être humain en permettant une notation simple et parfaitement cohérente de tous les nombres, et en donnant dans le même temps à n’importe qui la possibilité d’effectuer sans peine toutes sortes de calculs, en rendant désormais possibles des opérations demeurées inaccessibles, voire inconcevables, et ouvrant par conséquent la voie au développement des mathématiques, des sciences et des techniques (le zéro a par exemple permis la mise au point de la base 2, ou binaire, à partir de laquelle se sont développés les calculateurs informatiques qui utilisent un langage binaire reposant sur les deux signes 0 et 1).
Mais elle aura constitué aussi et surtout l’ultime perfectionnement de la notation numérique ; autrement dit, aucune autre amélioration de la notation des nombres ne fut désormais nécessaire ni même possible, dès lors que fut inventée cette numération parfaite.
A partir de cette date importante, la seule modification que celle-ci pouvait encore recevoir ne pouvait porter que ;
- sur la nature de la base
- ou encore sur la forme graphique de ses signes
Mais aucune transformation n’était désormais possible quant à la structure même du système, ainsi devenue immuable en raison de sa perfection mathématique.
Note
finale
Les chiffres et
l’arithmétique indienne sont aujourd’hui si
évidents, si élémentaires, qu’ils
nous semblent souvent constituer une aptitude innée de
l’esprit humain.
Et c’est sans doute ce qui a fait dire
au grand mathématicien allemand Léopold
Kronecker : « Dieu a
crée les nombres entiers, le reste est l’œuvre de
l’homme ». Alors qu’il
s’agit en fait d’une invention indienne, donc d’une
pure création de l’esprit
de l’homme.
Or cette réalisation profondément
humaine est aussi la plus universelle qui soit. En plus d’un
sens, on peut dire
qu’elle soude l’humanité. Il n’y a pas eu de
« tour de Babel » des
nombres : une fois qu’on les a assimilé, on les a
partout compris de la
même manière.
Tandis qu’il existe
plus de quatre mille langues, dont plusieurs centaines sont largement
répandues, et plusieurs dizaines d’alphabets et de
systèmes d’écriture servant
à les transcrire, il n’existe aujourd’hui
qu’un seul et unique système de
numération écrite. Le fait que des gens,
Européens, Asiatiques, Africains,
Américains ou Océaniens, incapables de communiquer
naturellement entre eux par
la parole, se comprennent aisément dès lors qu’ils
écrivent les nombres au
moyen des chiffres 0,1,2,3…est l’un des traits les plus
remarquables de notre
système de numération actuel.
En
un mot, les chiffres constituent de nos jours le seul et
véritable
langage universel. Ceux qui considèrent les chiffres comme
quelque chose de
tout à fait inhumain feraient donc bien d’y
réfléchir.
Bibliographie
-Zéro, la biographie d’une idée dangereuse de Charles Seife (source Internet : chez.com/histoiredeschiffres)
-Histoire universelle des chiffres, tome 1 de Georges Ifrah, professeur de mathématiques et historien
-Histoire universelle des chiffres, tome 2 de Georges Ifrah
-pages.intnet.mu, par Dr Parso Jessaram Gidwani